更快地找到第n个素数的方法
Faster way to find Nth prime
本文关键字:方法 更新时间:2023-10-16
我最近试图浏览我书中的100个不同练习的列表,目前是23号。需要很长时间才能搜索更大的数字(又名50000大约需要47秒。
#include <iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
bool checkPrime(int n);
int main()
{
while (true)
{
register int number;
cin >> number;
register int counter = 0;
register int numbers = 0;
time_t start = clock();
while (counter < number)
{
numbers++;
if (checkPrime(numbers))counter++;
}
double time_diff = (clock() - start);
cout << numbers << endl;
cout << "Time needed to process in ms: " << time_diff << endl;
}
}
bool checkPrime(int n) {
if (n <= 1) return false;
for (register int i = 2; i < n; i++) {
if (n%i == 0)return false;
}
return true;
}
这是代码本身,没有什么太奇怪的,因为它仍然是一个更轻松的练习之一,尝试将变量设置为寄存器,因为我听说它有时会使事情更快。Wolframalpha大约需要10秒钟才能检查100.000峰,我的代码在这里大约需要90个。
如果您没有空间限制,请创建一个包含素数的向量并更改checkPrime
方法,如下所示:
vector<int> primes;
bool checkPrime(int n) {
if (n <= 1) return false;
for (int i = 0; i < primes.size(), primes.at(i) <= sqrt(n); i++) {
if (n%primes.at(i)== 0)
return false;
}
primes.push_back(n)
return true;
}
通过这种技术,您只能检查n是否可以用素数而不是其平方根的所有数字分开。
在这里,我们利用一个数字是一个或多个素数的素数或多个。
checkprime方法是 O(log n)
,因此查找第一个n个素数是 O(n log n)
,其中n是nth prime
如果您需要nth prime数字非常快地计算出来。这个代码fo fo you使用此
使用的两种算法- 第一个算法是Meisel-Lehmer(Meisel-Lehmer非常快速计算的质量数量从1到N)
- 第二算法是二进制搜索
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N = 1e6 + 2;
bool np[N];
int prime[N], pi[N];
int getprime() {
int cnt = 0;
np[0] = np[1] = true;
pi[0] = pi[1] = 0;
for (int i = 2;i < N;++i) {
if (!np[i]) prime[++cnt] = i;
pi[i] = cnt;
for (int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] < N;++j) {
np[i * prime[j]] = true;
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
return cnt;
}
const int M = 7;
const int PM = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17;
int phi[PM + 1][M + 1], sz[M + 1];
void init() {
getprime();
sz[0] = 1;
for (int i = 0;i <= PM;++i) phi[i][0] = i;
for (int i = 1;i <= M;++i) {
sz[i] = prime[i] * sz[i - 1];
for (int j = 1;j <= PM;++j) {
phi[j][i] = phi[j][i - 1] - phi[j / prime[i]][i - 1];
}
}
}
int sqrt2(long long x) {
long long r = (long long)sqrt(x - 0.1);
while (r * r <= x) ++r;
return int(r - 1);
}
int sqrt3(long long x) {
long long r = (long long)cbrt(x - 0.1);
while (r * r * r <= x) ++r;
return int(r - 1);
}
long long getphi(long long x, int s) {
if (s == 0) return x;
if (s <= M) return phi[x % sz[s]][s] + (x / sz[s]) * phi[sz[s]][s];
if (x <= prime[s] * prime[s]) return pi[x] - s + 1;
if (x <= prime[s] * prime[s] * prime[s] && x < N) {
int s2x = pi[sqrt2(x)];
long long ans = pi[x] - (s2x + s - 2) * (s2x - s + 1) / 2;
for (int i = s + 1;i <= s2x;++i) {
ans += pi[x / prime[i]];
}
return ans;
}
return getphi(x, s - 1) - getphi(x / prime[s], s - 1);
}
long long getpi(long long x) {
if (x < N) return pi[x];
long long ans = getphi(x, pi[sqrt3(x)]) + pi[sqrt3(x)] - 1;
for (int i = pi[sqrt3(x)] + 1, ed = pi[sqrt2(x)];i <= ed;++i) {
ans -= getpi(x / prime[i]) - i + 1;
}
return ans;
}
long long lehmer_pi(long long x) {
if (x < N) return pi[x];
int a = (int)lehmer_pi(sqrt2(sqrt2(x)));
int b = (int)lehmer_pi(sqrt2(x));
int c = (int)lehmer_pi(sqrt3(x));
ll sum = getphi(x, a) + ll((b + a - 2) * (b - a + 1)) / 2;
for (int i = a + 1;i <= b;i++) {
ll w = x / prime[i];
sum -= lehmer_pi(w);
if (i > c) continue;
ll lim = lehmer_pi(sqrt2(w));
for (int j = i;j <= lim;j++) {
sum -= lehmer_pi(w / prime[j]) - (j - 1);
}
}
return sum;
}
//32000000000 ---1382799415 count
//25000000000 ---1091987405 count
//23000000000 ---1008309544 count
int main() {
init();
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
long long n, l, r, res = 0;
cin >> n;
l = n;
if (n == 1)cout << 2;
else {
l = 2;
r = 23000000000;
while (l < r) {
ll k = (l + r) / 2, s = lehmer_pi(k);
if (s >= n) { r = k; }
else if (s < n) { l = k + 1; }
}
cout << r;
}
}
尝试以下:
#include <iostream>
#include <time.h>
#include <vector>
#include <math.h>
using namespace std;
inline bool checkPrime(int n,std::vector<int>);
int main()
{
int number,counter,numbers;
std:cout<<"Prime Searcher";
std::vector<int> sieve;
while (true)
{
cin >> number;
counter = 0;
numbers = 0;
time_t start = clock();
while (counter < number)
{
if (numbers>2){
numbers+=2;
}
else{
numbers++;
}
if (checkPrime(numbers,sieve)){
sieve.push_back(numbers);
counter++;
}
}
double time_diff = (clock() - start);
cout << numbers << endl;
cout << "Time needed to process in seconds: " << time_diff/CLOCKS_PER_SEC << endl;
}
}
inline bool checkPrime(int n, std::vector<int> sieve) {
double numPrimes=(sqrt(n)/log(sqrt(n))+3);
if (numPrimes>sieve.size()){numPrimes=sieve.size();}
if (n <= 1) return false;
for (int i = 2; i < numPrimes; i++) {
if (n%sieve[i] == 0)return false;
}
return true;
}
通过我的基准测试,这是n = 4000的2倍优化,并且随数量较高而增加。register
被折旧。关于如何进一步优化的任何建议将不胜感激。在n = 50000时,我的机器需要24秒。
这是您锻炼的好方法
bool chekPrime(unsigned long long int n){
int flag=0; //flag=0 => flag is not set
if(n<=1||n%2==0)flag=1;//flag=1 => n is not prime
if(n==2||n==3)flag=2; //flag=2 => n is prime
if(flag==0){
for(unsigned long long int i=3;i*i<=n;i+=2){
if(n%i==0){
flag=1;//flag=1 => n is not prime
break;
}
}
}
//if flag not set or flag=2 => n is prime
if(flag==0||flag==2)return true;
else return false;
}
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