如何用CGAL和CORE精确计算sin(2*m*Pi/n)
How to compute sin(2*m*Pi/n) exactly with CGAL and CORE?
使用切比雪夫多项式,我们可以使用CGAL和CORE库精确地计算sin(2*Pi/n),就像下面的代码一样:
#include <CGAL/CORE_Expr.h>
#include <CGAL/Polynomial.h>
#include <CGAL/number_utils.h>
//return sin(theta) and cos(theta) for theta = 2pi/n
static std::pair<AA, AA> sin_cos(unsigned short n) {
// We actually use -x instead of x since root_of will give the k-th
// smallest root but we want the second largest one without counting.
Polynomial x(CGAL::shift(Polynomial(-1), 1));
Polynomial twox(2*x);
Polynomial a(1), b(x);
for (unsigned short i = 2; i <= n; ++i) {
Polynomial c = twox*b - a;
a = b;
b = c;
}
a = b - 1;
AA cos = -CGAL::root_of(2, a.begin(), a.end());
AA sin = CGAL::sqrt(AA(1) - cos*cos);
return std::make_pair(sin, cos);
}
但是,如果我想精确地计算sin(2*m*Pi/n),其中m和n是整数,那么我应该使用的多项式公式是什么?谢谢
(部分解决方案)
这本质上是将单位根的实部和虚部计算为代数数。让我们表示w(m)=exp(2*pi*I*m/n)。那么,w(m)本身就是En(x)=x^n-1的复根。
你需要找到Re(w(m))的定义多项式。结果是找到这样一个多项式的工具:2*Re(w(m))是Res(En(x-y),En(y);y)
对于为什么会出现这种情况的解释:注意2*Re(w(m))=w(m)+conj(w(m)),并且En的复根是共轭对;因此,conj(w(m))也是En的根。现在松散地说,En(y)部分"约束"y为En的任何(复数)根,并且将其与第一个参数相结合允许x取任何复数值,使得x-y也是En的根。因此,一个可能的赋值是y=conj(w(m))和x-y=w(m
CGAL可以计算多元多项式的结果,所以你可以计算这个结果,你只需要选择正确的实数根。(最大的显然是w(0)=1,最小的是2*Re(w(floor(n/2))。)
不幸的是,结果的复杂度很高(n^2),并且结果计算将不是你见过的最快的运算。此外,您将为密集多项式付费,尽管您的实例非常稀疏和结构化。YMMV;我不知道你的用例,也不知道你是否需要更高的学位
然而,我在一个计算机代数系统中做了一些测试,我发现结果分裂成更合理大小的因子,并且它的所有实根实际上只属于一个简单得多的次底多项式(n/2)+1。(没有证据,只是观察。)
我不知道有什么直接的公式可以写下这个因素,我也不想对此进行猜测。但也许mathoverflow或math.stackexchange的一些人可以帮忙?
编者按:这里至少有一个递归公式的猜测
我为结果多项式的有效因子写s(n,x),该多项式包含除0以外的所有实数根。这意味着s(n,x)具有m的所有值2*Re(w(m))!=n/4、3*n/4作为根。
s(0,x)=0
s(1,x)=x-2
s(2,x)=x^2-4
s(3,x)=x^2-x-2
s(4,x)=x^2-4
s(5,x)=x^3-x^2-3*x+2
s(6,x)=x^4-5*x^2+4
s(7,x)=x^4-x^3-4*x^2+3*x+2
s(8,x)=x^4-6*x^2+8
s(n,x)=(x^2-2)*s(n-4,x)-s(n-8,x)
正在等待证据。。。
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