对树中路径的范围查询

Range Queries on a path in a tree

本文关键字：范围 查询 路径      更新时间：2023-10-16

我在一次比赛中遇到了这个问题（现在已经结束了），我想不出一个省时的算法。

给你一个 N （<=10^5） 节点的根树。最初所有节点的值均为 0.树将有 M 个更新 （<=10^5），其形式为

添加 x y – 将 y 添加到节点 x 。

添加 x y – 将 y 添加到 x，x 的父级

，x 的父级直到根。

之后会有 Q 查询 （<=10^5） 查询，其中将要求您给出节点的值或根植于该节点的子树的总和。

我做了什么：-

首先，我尝试了根据操作更新每个节点的朴素算法，但显然这很耗时。

我也想过使用分段树和延迟传播，但想不出正确的方法。

任何帮助不胜感激，谢谢！

首先，构建一个图表，让孩子指向他们的父母。之后，解析所有更新，并将添加和添加的总和分别存储在树的每个节点中。您的节点应具有以下变量：

sum_add : the sum of all the Add of this node
sum_add_up : the sum of all the AddUp of this node
subtree_sum : the sum of the subtree. Initialize with 0 by now.

现在，使用拓扑顺序横向你的图，即，如果一个节点的所有子节点都已经处理完毕，你才会处理它，这需要 O（N）。现在让我定义流程函数。

process(V) {
    V.sum_add_up = V.sum_add_up + sum(sum_add_up of all V.children)
    V.subtree_sum = V.sum_add + V.sum_add_up + sum(subtree_sum of all V.children)
}

现在你可以回答 O（1） 中的所有查询。对节点V值的查询是V.sum_add + V.sum_add_up，而对V的子树的查询只是V.subtree_sum。

这是一个芬威克树，为了解决这类问题，你必须在树上执行拓扑排序并计算每个节点的子节点数量。

      0
    /   
   1     2
  / 
 3   4

索引： [0 1,2,3,4]儿童： [4,2,0,0,0]使用拓扑，您将获得此向量 0 1 3 4 2 您需要反转它：

fenwick Pos:  [0,1,2,3,4]
vector values:[2,4,3,1,0]
pos: [5,3,0,2,1]

使用泛威树您可以执行2种查询，更新查询，范围和查询当您需要更新仅一个索引调用update(pos[index], y)时，您必须减少所有下一个值，update(pos[index]+1, -y)当您需要更新所有家长时，请致电update(pos[index], y)和update(pos[index] + childrens[index] + 1, -y);

要知道仓位的值，您需要在 POS[index] 上调用范围总和查询

我认为这个问题只是二叉搜索树的直接应用，它对插入和查询都有平均案例成本（n 次随机操作后）O(1.39log(n))。

您所要做的就是递归添加新节点并同时更新值和求和。

实现也相当简单（对不起 C#），例如对于 Add()（AddUp()相似 - 每次转到左侧或右侧子树时都会增加值）：

public void Add(int key, int value)
{
    Root = Add(Root, key, value);
}
private Node Add(Node node, int key, int value)
{
    if (node == null)
    {
        node = new Node(key, value, value);
    }
    if (key < node.Key)
    {
        node.Left = Add(node.Left, key, value);
    }
    else if (key > node.Key)
    {
        node.Right = Add(node.Right, key, value);
    }
    else
    {
        node.Value = value;
    }
    node.Sum = Sum(node.Left) + Sum(node.Right) + node.Value;
    return node;
}

对于我机器上的 100000 个数字，这转换为以下数字：

Added(up) 100000 values in: 213 ms, 831985 ticks
Got 100000 values in:       86 ms, 337072 ticks

对于 100 万个数字：

Added(up) 1000000 values in: 3127 ms, 12211606 ticks
Got 1000000 values in:       1244 ms, 4857733 ticks

这个时间够有效吗？您可以在此处尝试完整的代码。

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