稠密对称矩阵的特征有效型

Eigen efficient type for dense symmetric matrix

本文关键字：特征 有效型 对称      更新时间：2023-10-16

对于存储密集、固定大小的对称矩阵，Eigen是否具有有效类型？(嘿，它们无处不在！)

即，对于N=9，它应该只存储(1+9)*9/2==45个元素，并且它有适当的操作。例如，应该有两个对称矩阵的有效加法，它返回simmilar对称矩阵。

如果没有这样的东西，我应该采取什么行动(看起来像这样)将这种类型引入到Eigen？它有"观点"的概念吗？我能为我自己的类型写一些类似"矩阵视图"的东西吗？这会使它成为Eigen friednly？

附言：也许我可以使用map将普通数组视为1xN矩阵，并对其进行操作。但这不是最干净的解决方案。

对称矩阵的压缩存储是矢量化代码(即速度)的大敌人。标准做法是将相关的N*(N+1)/2系数存储在全密NxN矩阵的上三角部分或下三角部分中，并使剩余的(N-1)*N/2不被引用。对称矩阵上的所有运算都是通过考虑这种特殊的存储来定义的。在本征中，你有三角形和自伴随视图的概念来获得这个。

从本征参考：(对于实矩阵自伴随==对称)。

就像三角形矩阵一样，你可以引用任何三角形部分将其视为自伴随矩阵，并执行特殊和优化的操作。同样是相对的三角形部分从不被引用，并且可以用于存储其他信息。

除非内存是个大问题，否则我建议将矩阵的未引用部分留空。(代码可读性更强，没有性能问题。)

是的，本征3有视图的概念。不过，它对存储没有任何作用。不过，作为一个想法，您可能能够为两个相同类型的对称矩阵共享一个更大的块：

Matrix<float,4,4> A1, A2; // assume A1 and A2 to be symmetric
Matrix<float,5,4> A;
A.topRightCorner<4,4>().triangularView<Upper>() = A1;
A.bottomLeftCorner<4,4>().triangularView<Lower>() = A2;

不过它很笨重，只有当你的记忆力真的很珍贵的时候，我才会使用它。

对称矩阵的有效类型

您只需将值分配给矩阵的下/上三角形部分，并使用特征三角形和自伴视图。然而，我已经在小的固定大小矩阵上测试了这两种情况。我注意到，从性能角度来看，使用视图并不总是最佳选择。考虑以下代码：

Eigen::Matrix2d m;
m(0,0) = 2.0;
m(1,0) = 1.0;
// m(0,1) = 1.0;
m(1,1) = 2.0;
Eigen::Vector2d v;
v << 1.0,1.0;
auto result = m.selfadjointView<Eigen::Lower>()*v;

与下面给出的替代解决方案相比，最后一行中的乘积相当慢(在我的情况下，double 2x2矩阵慢约20%)。(通过取消对m(0,1) = 1.0;的注释并使用auto result = m*v，使用完整矩阵的乘积对于double 2x2矩阵来说甚至更快)。

一些替代方案

1)将对称矩阵存储在向量中

您可以将矩阵存储在大小为45的向量中。用矢量格式求2个矩阵的和很简单(只需求矢量的和)。但是您必须为产品编写自己的实现。

这里是这样一个matrix * vector乘积(密集、固定大小)的实现，其中矩阵的下部按列存储在向量中：

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,1> matrixVectorTimesVector(const Eigen::Matrix<T,S*(S+1)/2,1>& m, const Eigen::Matrix<T,S,1>& v)
{
Eigen::Matrix<T,S,1> ret(Eigen::Matrix<T,S,1>::Zero());
int counter(0);
for (int i=0; i<S; ++i)
{
ret[i] += m(counter++)*v(i);
for (int j=i+1; j<S; ++j)
{
ret[i] += m(counter)*v(j);
ret[j] += m(counter++)*v(i);
}
}
return ret;
}

2)只存储三角形部分并执行自己的操作

当然，您也可以实现自己的产品matrix * vector，其中矩阵只存储45个元素(假设我们存储下三角部分)。这可能是最优雅的解决方案，因为它保持了矩阵的格式(而不是使用表示矩阵的向量)。然后你也可以像下面的例子一样使用特征函数：

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,S> symmMatrixPlusSymmMatrix( Eigen::Matrix<T,S,S>& m1, const Eigen::Matrix<T,S,S>& m2)
{
Eigen::Matrix<T,S,S> ret;
ret.template triangularView<Eigen::Lower>() = m1 + m2; // no performance gap here!
return ret;
}

在上面的函数(2个对称矩阵的和)中，只访问m1和m2的下三角部分。请注意，triangularView在这种情况下没有表现出性能差距(我根据我的基准测试确认了这一点)。

关于matrix * vector产品，请参见以下示例(性能与备选方案1中的产品相同)。该算法只访问矩阵的下三角部分。

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,1> symmMatrixTimesVector(const Eigen::Matrix<T,S,S>& m, const Eigen::Matrix<T,S,1>& v)
{
Eigen::Matrix<T,S,1> ret(Eigen::Matrix<T,S,1>::Zero());
int counter(0);
for (int c=0; c<S; ++c)
{
ret(c) += m(c,c)*v(c);
for (int r=c+1; r<S; ++r)
{
ret(c) += m(r,c)*v(r);
ret(r) += m(r,c)*v(c);
}
}
return ret;
}

在我的情况下，与使用全矩阵(2x2=4个元素)的产品相比，产品Matrix2d*Vector2d的性能增益为10%。

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