取模时误差小

Small error when taking modulo

本文关键字：误差      更新时间：2023-10-16

我写了一个计算一系列数字的小算法，但它们最终会变成大而存储在unsigned long long中。这就是为什么我决定每次计算下一个数字时都取模。这是我的函数：

#define MOD 1000000007
template <typename T>
T modpow(T base, T exp, T modulus) {
base %= modulus;
T result = 1;
while (exp > 0) {
if (exp & 1) result = (result * base) % modulus;
base = (base * base) % modulus;
exp >>= 1;
}
return result;
}
vector<unsigned long long> B(int n) {
vector<unsigned long long> points;
vector<unsigned long long> cum_points;
points.push_back(0);
points.push_back(0);
cum_points = points;
unsigned long long prev = 0;
if (n >= 2){
for (int i = 0; i <= n - 2; i++) {
prev += cum_points[i];
prev %= MOD;
points.push_back((modpow((unsigned long long)2, (unsigned long long)i, (unsigned long long) MOD)+prev)%MOD);
cum_points.push_back((cum_points[i+1]+points[i+2])%MOD);
}
}
return points;
}

这将返回一个包含一系列数字的向量：

0， 0, 1, 2, 5, 12, 28, 64, 144, 320, 704, 1536, 3328, ...

等等...

问题是，当n > 50模数略有偏差时： (第一个值是代码中没有模数计算的值，等号后的值是代码中模数的结果。

50: 1759218604441600 % 1000000007 = 592127074; this is the right answer
51: 3588805953060860 % 1000000007 = 927939229; this should be: 927939225

每次变高时，误差都会变大一点n。这小小的偏移量从何而来？

一些可能的问题：

  • 当数字时，modpow()不知何故没有给出正确的答案 超过一定长度。这不是问题
  • 数学上有一些错误，但我相信我以正确的方式使用以下方程：

(a*b) mod c = ((a mod c)*(b mod c)) mod c

(a + b) mod c = ((a mod c)+(b mod c)) mod c

  • 我的代码中也可能有一个错误的变量类型，尽管我不知道在哪里。

编辑：我已经排除了一些可能的问题，问题似乎在于i == 48时prev的计算。

您可以检查模量是否足够小。您是否检查过系统上无符号长长的大小？

std::cout << std::numeric_limits<unsigned long long>::max();

当你检查它时，你不妨也检查一个无符号的int的大小 与此同时。我不确定它们是否一定不同。

您的模数有 10 位数字，因此两个数字的乘积最多可以有 20 位数字。 如果您的最大无符号长长小于 MOD * MOD，则可能会收到溢出错误。

公式中的错误可能会在 n = 51 之前显示。

评论： 如果您使用的是 C++11 标准，为什么不将该宏替换为

constexpr unsigned long long MOD = 1000000007;

此外，在调用 modpow 的位置，您可以通过简单地调用所需的特定函数来避免所有这些转换unsigned long long：modpow<unsigned long long>.然后参数将自动转换为正确的类型。

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