Computing DFT by definition with C++

我正在尝试用最简单的方法计算DFT及其反演，但它一直不起作用。更糟糕的是，我不确定。这是我的代码：

（realnum是double，freq_func和time_func是复数的向量）

freq_func toFreq(const time_func & waveform)
{
    freq_func res;
    res.resize(waveform.size());
    const realnum N = spectrum.size();
    for (size_t k = 0; k < waveform.size(); k++)
        for (size_t n = 0; n < waveform.size(); n++)
            res[k] += waveform[n] * exp(complex(0, -2*PI*n*k/N));
    return res;
}

time_func toTime(const freq_func & spectrum)
{
    freq_func res;
    res.resize(spectrum.size());
    const realnum N = spectrum.size();
    for (size_t n = 0; n < spectrum.size(); n++)
    {
        for (size_t k = 0; k < spectrum.size(); k++)
            res[n] += spectrum[k] * exp(complex(0, 2*PI*n*k/N));
        res[n] /= N;
    }
    return res;
}

为什么它从来没有持有a=toTime（toFreq（a））或a=toFreq？为什么toTime返回的结果有相当多的虚部？还是应该这样？一些在线计算器是这样做的。为什么维基百科声称，除以N可以移动到Freq，甚至可以用除以1/sqrt（N）来代替，难道不应该只有一个可能的定义吗？