计算机是如何计算平方根的

大多数现代非嵌入式CPU（例如x86和更大的ARM内核）都有直接计算平方根的硬件指令。支持这些指令的硬件实现各不相同，但通常是教科书中逐位算法的变体（尽管不总是以2为基数；也可以使用4或16为基数）。这些通常是CPU上最慢的基本算术运算；像16-64个周期这样的定时并不罕见，并且这些指令通常不是流水线式的。

在缺乏直接硬件平方根指令（安腾、PPC等）的CPU上，典型的方法是生成初始估计值（使用产生估计值的指令或查找表），然后使用迭代方法（通常为牛顿或戈德施密特）细化该估计值。如果你感兴趣的话，你可以找到彼得·马克斯坦或罗杰·戈利弗关于这个主题的一些著作。

更复杂的数学函数（如三角运算）通常是通过将自变量减少到一些基本域中，然后用多项式或有理函数对其进行近似来计算的。您可以查看在线提供的几个数学库中的任何一个的来源，以了解更多详细信息（fdlibm是一个很好的起点）。

x86指令集提供了许多支持exp、log和sin等数学函数的指令，但这些指令不再常用，因为良好的软件库实现可以提供更好的性能。

另一种尚未提及的可能性是CORDIC方法。CORDIC在软件中没有广泛使用/已知，但在硬件中非常常见，并且在不使用大量门的情况下可以很好地获得不错的性能。

我认为牛顿迭代收敛方法用于计算平方根

正如其他人所指出的，这是一个非常广泛的问题——对于硬件实现来说，什么对软件有效可能是一个糟糕的选择；然后是IEEE-754、硬件查找表等的正确舍入问题。有很多开源的C库，也有libm实现。可以在这里找到经典和现代方法的良好概述。