在一些 K 个不同的整数、模786433处找到多项式的值

给你一个带有整数系数的 N 次多项式。你的任务是在某些 K 个不同的整数、模786433找到这个多项式的值。

输入

输入的第一行包含一个整数 N，表示多项式的次数。

每个测试用例的以下行包含 （N+1） 个整数，表示多项式的系数。此行中的第 i 个数字表示多项式 a_0 + a_1 × x_1 + a_2 × x_2 + ... + a_N × x_N 中的系数 a_（i-1）。

以下行包含一个整数 Q，表示查询数。

以下 Q 行的第 j 个包含表示查询的整数x_j。

输出

对于每个查询，输出一行包含相应查询的答案。换句话说，输出的第 j 行应该有一个等于 a_0 + a_1 × x_j + a_2 × x_j^2 + ... + a_N × x_j^N 模786433的整数。

约束和子任务

• 0 ≤ a_i， x_j <786433
• 子任务 #1（37 分）：0 ≤ N、Q ≤ 1000
• 子任务 #2（63 分）： 0 ≤ N， Q ≤ 2.5 × 10^5

例

输入：21 2 33789

输出：36便士209262

解释

示例案例 1。

• 查询 1：1 + 2 × 7 + 3 × 7 × 7 = 162
• 查询 2：1 + 2 × 8 + 3 × 8 × 8 = 209
• 查询 3：1 + 2 × 9 + 3 × 9 × 9 = 262

下面是在 O（n log n） 时间内运行的代码。我使用快速傅里叶变换将两个多项式相乘。

为什么我需要对所有计算使用模786433运算符？我知道这可能与 int 溢出有关？这在竞争性编程问题中很正常吗？

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <iostream>
using namespace std;
#define all(a) (a).begin(),(a).end()
#define pb push_back
#define sz(a) ((int)(a).size())
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
typedef pair<int, int> pint;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
#define MOD 786433
#define MAGIC (3*(1<<18))
const int root = 10;
void fft(vi &a, int wn = root)
{
    int n = sz(a);
    if (n == 3)
    {
    int a1 = a[0] + a[1] + a[2];
        int a2 = (a[0] + a[1] * 1LL * root + a[2] * (root * 1LL * root)) % MOD;
        a[1] = a1;
        a[2] = a2;
        return;
    }
    vi a0(n / 2), a1(n / 2);
    for (int i = 0, j = 0; i<n; i += 2, ++j)
    {
        a0[j] = a[i];
        a1[j] = a[i + 1];
    }
    int wnp = (wn * 1LL * wn) % MOD;
    fft(a0, wnp);
    fft(a1, wnp);
    int w = 1;
    for (int i = 0; i<n / 2; ++i) {
        int twiddle = (w * 1LL * a1[i]) % MOD;
        a[i] = (a0[i] + twiddle) % MOD;
        a[i + n / 2] = (a0[i] - twiddle + MOD) % MOD;
        w = (w * 1LL * wn) % MOD;
    }
}    
int n;
vi coef;
void poly(stringstream& ss)
{
    ss >> n;
    n++;
    for (int i = 0; i<n; i++)
    {
        int x;
        ss >> x;
        coef.pb(x);
    }
    while (sz(coef)<MAGIC)
        coef.pb(0);
    vi ntt = coef;
    fft(ntt);
    vector<pint> sm;
    sm.pb(mp(0, coef[0]));
    int pr = 1;
    for (int i = 0; i<sz(ntt); i++)
    {
        sm.pb(mp(pr, ntt[i]));
        pr = (pr * 1LL * root) % MOD;
    }
    sort(all(sm));
    int q;
    ss >> q;
    while (q--)
    {
        int x;
        ss >> x;
        int lo = 0, hi = sz(sm) - 1;
        while (lo<hi)
        {
            int m = (lo + hi) / 2;
            if (sm[m].fi<x)
            lo = m + 1;
            else
            hi = m;
        }
        printf("%dn", sm[lo].se);
    }
}

void test1()
{
    stringstream ss;
    {
        int degree = 2;
        ss << degree << "n";
        string coefficients{ "1 2 3" };
        ss << coefficients << "n";
        int NoQueries = 3;
        ss << NoQueries << "n";
        int query = 7;
        ss << query << "n";
        query = 8;
        ss << query << "n";
        query = 9;
        ss << query << "n";
    }
    poly(ss);
}
int main()
{
    test1();
    return 0;
}

顺便说一句：这个问题来自 2016 年 7 月的挑战 @ 代码厨师