线 - 3D 世界中的圆相交测试

如果你在一个坐标系中，其中地面由 z = c 给出，表示 c 某个常数，那么你可以简单地计算 z = c 的线的 x、y 坐标。现在，对于原点 x0、y0 和半径为 R 的圆，您只需检查

（x - x0）^2 + （y - y0）^2 <= R^2.

如果这是真的，则直线与圆相交。

在3D意义上，你首先关心的不是圆，而是圆所在的平面。然后你可以找到射线（线）和平面（圆盘）之间的交点。

我喜欢对点、平面和线使用齐次坐标，希望您熟悉矢量点·和交叉积×。这是方法：

平面（圆盘）由点向量r=[rx,ry,rz]和法向向n=[nx,ny,nz]定义。它们一起形成一个平面W=[W1,W2]=[n,-r·n].

线（射线）由两个点向量定义 r_A=[rAx,rAy,rAz] 和 r_B=[rBx,rBy,rBz] 。它们共同构成了一条线L=[L1,L2]=[r_B-r_A, r_A×r_B]

相交点由 P=[P1,P2]=[L1×W1-W2*L2, -L2·W1] 定义，或展开为

P=[ (r_B-r_A)×n-(r·n)*(r_A×r_B), -(r_A×r_B)·n ]

该点的坐标由r_P = P1/P2找到，其中P1有三个元素，P2是标量。

获得坐标后，您可以通过d=sqrt((r_p-r)·(r_p-r))并检查d<=R与圆心的距离，其中R是圆的半径。请注意标量乘法*和点积·之间的表示法差异

如果你确定圆圈位于地面上（r=[0,0,0]）并朝上（n=[0,0,1]），那么你就可以对上述一般情况进行很多简化。

[参考：采摘坐标]

更新：

当使用地面（+Z向上）作为平面（圆所在的位置）时，使用r=[rx,ry,0]和n=[0,0,1]，上述交点简化为

r_p = [ rBy-rAy, rAx-rBx, 0] / (rAy*rBx-rAx*rBy)

您可以检查到圆心的距离。