系列的第 n 项

nth term of series

本文关键字：系列      更新时间：2023-10-16

我们必须找到这个系列的第n项 http://oeis.org/A028859

n<=1000000000

答案应该是模1000000007

我已经编写了代码，但是当n a是巨大的数字时，时间限制超过了。

#include<iostream>
using namespace std
int main()
{
    long long int n;
    cin>>n;
    long long int a,b,c;
    a=1;
    b=3;
    int i;
    for(i=3;i<=n;i++)
    {
        c=(2ll*(a+b))%1000000007;
        a=b;
        b=c; 
    }
    cout<<c;
}

解决此类问题的标准技术是将其重写为矩阵乘法，然后通过平方使用幂来有效地计算矩阵的幂。

在这种情况下：

a(n+2) = 2 a(n+1) + 2 a(n)
a(n+1) = a(n+1)
(a(n+2)) = (2  2) * ( a(n+1) )
(a(n+1))   (1  0)   ( a(n)   )

因此，如果我们定义矩阵 A=[2,2 ; 1,0]，那么你可以计算第 n 项 

[1,0] * A^(n-2) * [3;1]

所有这些操作都可以进行模1000000007，因此不需要大数库。

它需要 O（log（n）） 2*2 矩阵乘法来计算 A^N，所以总的来说这种方法是 O（log（n）），而你原来的方法是 O（n）。

编辑

这是此方法的一个很好的解释和C++实现。

当long long不够时，您可能想使用 bignum 库。例如 GNU MP。

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