我的 durand-kerner 实现有什么问题？

What's wrong with my durand-kerner implementation?

本文关键字：问题 什么 durand-kerner 实现 我的      更新时间：2023-10-16

实现这个简单的寻根算法。http://en.wikipedia.org/wiki/Durand%E2%80%93Kerner_method我一辈子都无法弄清楚我的实施出了什么问题。根部不断爆炸，没有收敛的迹象。有什么建议吗？

谢谢。

#include <iostream>
#include <complex>
using namespace std;
typedef complex<double> dcmplx;
dcmplx f(dcmplx x)
{
    // the function we are interested in
    double a4 = 3;
    double a3 = -3;
    double a2 = 1;
    double a1 = 0;
    double a0 = 100;
    return a4 * pow(x,4) + a3 * pow(x,3) + a2 * pow(x,2) + a1 * x + a0;
}

int main()
{   
dcmplx p(.9,2);
dcmplx q(.1, .5);
dcmplx r(.7,1);
dcmplx s(.3, .5);
dcmplx p0, q0, r0, s0;
int max_iterations = 20;
bool done = false;
int i=0;
while (i<max_iterations && done == false)
{   
    p0 = p;
    q0 = q;
    r0 = r;
    s0 = s;

p = p0 - f(p0)/((p0-q0)*(p0-r0)*(p0-s0));
q = q0 - f(q0)/((q0-p)*(q0-r0)*(q0-s0));
r = r0 - f(r0)/((r0-p)*(r0-q)*(r0-s0));
s = s0 - f(s0)/((s0-p)*(s0-q)*(s0-r));
    // if convergence within small epsilon, declare done
    if (abs(p-p0)<1e-5 && abs(q-q0)<1e-5 && abs(r-r0)<1e-5 && abs(s-s0)<1e-5)
        done = true;
    i++;
}
cout<<"roots are :n";
cout << p << "n";
cout << q << "n";
cout << r << "n";
cout << s << "n";
cout << "number steps taken: "<< i << endl;
return 0;
}

晚了半年：谜团的解决方案是分母应该是多项式导数的近似值，因此需要包含前导系数 a4 作为因子。

或者，可以在 return 语句中将多项式值除以 a4，以便多项式有效赋范，即具有前导系数 1。

请注意，Bo Jacoby 在维基百科中的示例代码是该方法的 Seidel 型变体，经典公式是类似乔丹的方法，其中所有新的近似值都是从旧的近似同时计算出来的。Seidel可以具有比作为多维牛顿方法的公式为雅可比提供的阶2更快的收敛。

然而，对于大度雅可比，可以使用快速多项式乘法算法加速，以对多项式值和分母中的乘积进行所需的多点评估。

啊，问题是 N 次多项式的系数必须指定为

1*x^N + a*x^（N-1） + b*x^（N-2） ...等 + z;

其中 1 是最大度项的系数。否则，第一个根将永远不会收敛。

您尚未正确实现公式。例如 

s = s0 - f(s0)/((s0-p0)*(s0-q0)*(s0-r0));

应该是

s = s0 - f(s0)/((s0-p)*(s0-q)*(s0-r));

再看维基文章

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