与迭代乘法相比，std::p ow(） 的数值稳定性是多少?

What is the numerical stability of std::pow() compared to iterated multiplication?

本文关键字：稳定性 多少 迭代 std ow      更新时间：2023-10-16

使用std::pow()会出现或解决什么样的稳定性问题？

  • 如果已知指数是整数，实现一个简单的函数来执行迭代乘法log(n)通常会更稳定（或更快，或完全不同）吗？

    • 在

  • 稳定性方面，std::sqrt(x)与std::pow(x, k/2)形式相比如何？选择上述方法提高到整数幂，然后乘以平方根是否有意义，或者我应该假设std::pow()快速且精确到机器精度？如果k = 1，与std::sqrt()有区别吗？

  • std::pow(x, k/2)或上述方法在稳定性方面如何与std::sqrt(x)的整数幂进行比较？

作为奖励，速度差异可能是多少？

如果指数已知为整数，则实现一个简单的函数来执行log（n）迭代乘法，通常会更稳定（或更快，或完全不同）吗？

整数指数平方的求幂结果通常不如pow精确，但两者都是稳定的，因为接近输入产生接近的结果。您可以期望通过平方的幂通过乘法引入 0.5 ULP 的相对误差（例如，计算 1 ULP 的误差 x3 作为x * x * x）。

当第二个参数 n 静态已知为 2 时，则一定要实现 xn 作为 x * x 。在这种情况下，它比任何可能的替代方案都更快、更准确。

std：：sqrt（x） 在稳定性方面与 std：:p ow（x， k/2） 的形式相比如何

首先，对于IEEE 754实施来说，sqrt的准确性是无与伦比的，因为sqrt是该标准要求尽可能准确的基本操作之一。

但是你不是在问sqrt，而是在问（我认为）关于n> * sqrt（x）的计算，而不是pow(x, n + 0.5)。同样，一般来说，对于 pow 的质量实现，您可以期望pow(x, n + 0.5)比替代方案更准确。尽管sqrt(x)将计算为 0.5 ULP，但乘法引入了其自身高达 0.5 ULP 的近似值，总而言之，最好在对实现良好的函数的单次调用中获得您感兴趣的结果。pow 的质量实现将为您提供 1 ULP 的准确度，而最好的实现将"保证"0.5 ULP。

作为奖励，速度差异可能是多少？

如果您事先知道指数将是小整数或 0.5 的倍数，那么您拥有pow的实现者没有的信息，因此您至少可以击败它们测试的成本来确定第二个参数是小整数。此外，质量实现的实现者的目标是获得比平方提供的简单幂更准确的结果。另一方面，pow的实现者可以使用极其复杂的技术来最小化平均执行时间，尽管准确性更高：例如参见CRlibm的实现。在谈论pow的最佳实现时，我将动词"保证"放在引号内，因为pow是CRlibm的0.5 ULP精度保证仅"具有天文概率"的一个函数。

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