关于优化的数学函数、范围和区间

注意:在下面的回答中，我是在非常笼统地谈论代码。

假设我可以在C或c++中实现我的跨平台f(x)，该领域的程序员通常如何解决通过实际实现转换和映射输入，象限到结果的问题?

一般的答案是:以最明显和最简单的方式达到你的目的。

我不完全确定我是否理解你的大多数论点/问题，但我有一种感觉，你在寻找实际上不存在的问题。你真的需要重新实现三角函数吗?不要落入美国国立卫生研究院(NIH)的陷阱。

的 解决方法是检测象限

是的!我喜欢简单明了的代码。代码的作用一目了然。现在，有时，只是有时，您必须做一些疯狂的事情来让它做您想做的事情:为了性能，或者避免您无法控制的bug。但是第一个版本应该是解决问题的最明显和最简单的代码。在此基础上，您可以进行测试、分析和基准测试，如果(仅当)发现性能或其他问题，那么您将进入疯狂的工作。

这在理论上是好的，但这也带来了一些非常糟糕的问题，

我想说这在理论上是好的，在大多数情况下和在实践中是好的，我绝对没有看到任何"坏"问题。在特定的角落案例或设计需求中的小问题。

对你的一些具体评论有几点看法:

• f(x)的近似仅适用于第一象限:是的，这有很多原因。一个简单的原因是，大多数三角函数都有恒等式，所以你可以很容易地使用它们来减小输入参数的范围。这很重要，因为许多数值技术只能在特定的输入范围内工作，或者对于小输入更准确/性能。接下来，对于非常大的输入，你将不得不削减范围，无论如何，大多数数值技术工作，或至少工作在一个体面的数量的时间，并有足够的准确性。例如，看看cos()的泰勒展开，看看对于大输入和小输入，它需要多长时间才能充分收敛。
• 它只是阻止可能的优化:现在你的c++编译器很可能比你更擅长优化。有时不是这样，但一般的过程是让编译器进行优化，并且只在您测量并证明需要时进行手动优化。现在，仅仅通过观察来判断哪个代码更快是非常不直观的(你可以阅读关于性能问题的所有问题以及一些根本原因是多么疯狂)。
• 即记忆:我从未见过double函数的记忆。想想0和1之间有多少双精度数。现在，在精度降低的情况下，你可以利用它，但这很容易实现，作为一个定制的函数，为那个确切的情况量身定制。考虑到这一点，我不太确定如何实现double函数的记忆，这实际上意味着任何东西，并且在此过程中不会失去准确性或性能。
• 增加并发执行更多分支的可能性:我不确定我会以并发的方式实现三角函数，但我认为这完全有可能获得一些性能上的好处。但是，编译器通常比你更擅长优化，所以让它做它的工作，然后基准测试/配置文件看看你是否真的需要做得更好。
• 不会导致更好、干净、干燥的代码:我不确定您在这里究竟是什么意思，或者"干代码"是什么意思。是的，有时候你会因为太多或太复杂的if/switch块而陷入麻烦，但我不认为4象限的简单检查适用于这里……这是一个非常基本和简单的例子。
• 所以对于任何平台，对于相同的x值，我得到相同的y:我的猜测是，在多个平台和系统上获得所有53位double的"精确"值是不可能的。如果你只有52位正确的结果是什么?这将是一个伟大的领域做一些测试，看看你得到什么。

我在C中使用三角函数超过20年，99%的时间我只是使用任何内置函数提供。在极少数情况下，我需要通过测试或基准测试证明更高的性能(或准确性)，只有在这种情况下，我才会针对特定情况实际推出自己的自定义实现。我不会重写<math.h>函数的整个范围，希望有一天我可能需要它们。

我建议尝试用尽可能多的方法编写这些函数，并做一些准确性和基准测试。这将给你一些实用的知识，给你一些关于你是否真的需要重新实现这些函数的硬数据。至少，这应该会给你一些实现这些类型函数的实际经验，并有可能回答你在这个过程中的许多问题。