基于定点算法的编译时元编程.乘法溢出

我目前正在通过模板元编程实现编译时三维光栅。

在实现代数基础（2d/3d/4d矢量、3x3/4x4矩阵算术、用于剔除目的的aabb2d/3d等）后，我注意到整数算术对于矢量变换来说不够好。所以我开始写一个定点实现：

库有一个基头，其中包含代数类型将实现（以提供统一的接口）。以下是定点实现所使用的一组定义：

template<typename T>
struct zero; //Gets the zero value of a type of data. For example, zero<std::integral_constant<int>> returns std::integral_constant<int,0>
template<typename T>
struct one;
/* Algebraic operations: */
template<typename LHS , typename RHS>
struct add;
template<typename LHS , typename RHS>
struct sub;
template<typename LHS , typename RHS>
struct mul;

我决定使用基于十进制的定点，而不是基于二进制的，因为它可以让我轻松地编写十进制数字接口（下面提供的decimal别名）。以下是幂元函数和小数位数移位的实现：

template<int base , int exponent>
struct positive_pow : public std::integral_constant<long long int , base * positive_pow<base,exponent-1>::value> {};
template<int base>
struct positive_pow<base,0> : public std::integral_constant<long long int,1> {};
template<int number , int shift>
struct decimal_leftshift : public std::integral_constant<long long int,number * positive_pow<10, shift>::value> {};
template<int number , int shift>
struct decimal_rightshift : public std::integral_constant<long long int,number / positive_pow<10, shift>::value> {};
template<bool CONDITION , int NUMBER , int SHIFT>
struct decimal_shift_chooser
{
    using shifter = decimal_leftshift<NUMBER,SHIFT>;
};
template<int NUMBER , int SHIFT>
struct decimal_shift_chooser<false,NUMBER,SHIFT>
{
    using shifter = decimal_rightshift<NUMBER,-SHIFT>;
};
//This metafunction shifts to one direction or other depending on the sign of the shift count passed:
template<int number , int shift>
struct decimal_shift
{
    using shifter = typename decimal_shift_chooser<( shift >= 0 ) , number , shift>::shifter;
    static const long long int value = shifter::value;
};  

这里是定点类型的实现。内部实现使用long long来存储数字。所以我有64位，也就是说，19个十进制数字大约：

using fpbits = long long int;
using fdcount = unsigned int; //Fractional decimal digits count (Precision)
const fdcount DEFAULT_FRACTIONAL_PRECISION = 8; 
template<fpbits BITS , fdcount PRECISION = DEFAULT_FRACTIONAL_PRECISION>
struct fixed_point
{
    operator float()
    {
        return (float)BITS * std::pow(10.0f,-(float)PRECISION);
    };
};
//An alias to define decimal numbers with default precision:
template<int mantissa , int exponent = 0> // MANTISSA x 10^EXPONENT
using decimal = fixed_point<decimal_shift<mantissa , DEFAULT_FRACTIONAL_PRECISION + exponent>::value>; 
/* Previously defined common metafunctions implementation */
template<fpbits BITS , fdcount PRECISION>
struct zero<fixed_point<BITS,PRECISION>> : public fixed_point<0,PRECISION> {};
template<fpbits BITS , fdcount PRECISION>
struct one<fixed_point<BITS,PRECISION>> : public fixed_point<decimal_leftshift<1,PRECISION>::value,PRECISION> {};

template<fpbits BITS1 , fdbits BITS2 , fbcount PRECISION>
struct add<fixed_point<BITS1,PRECISION> , fixed_point<BITS2,PRECISION>> : public fixed_point<BITS1+BITS2 , PRECISION> {};
template<fpbits BITS1 , fdbits BITS2 , fbcount PRECISION>
struct sub<fixed_point<BITS1,PRECISION> , fixed_point<BITS2,PRECISION>> : public fixed_point<BITS1-BITS2 , PRECISION> {};
template<fpbits BITS1 , fdbits BITS2 , fbcount PRECISION>
struct mul<fixed_point<BITS1,PRECISION> , fixed_point<BITS2,PRECISION>> : public fixed_point<decimal_rightshift<BITS1*BITS2,PRECISION>::value , PRECISION> {};

正如我所指出的，该实现有19个十进制数字。因此，如果我们使用8位小数精度，并将圆周率乘以2，结果就可以表示出来，对吧？如本例所示：

using pi = decimal<3141592 , -6>; //3141592 x 10^-6 (3,141592) This fits in our 8 precision implementation.
using pi_2 = mul<pi,decimal<2>>; //pi*2 is 314159200 * 200000000 = 62831840000000000 >> 8. 
                                 //The inmediate result of the product fits in a 
                                 //long long (Has 17 decimal digits), so no problem?
int main()
{
    std::cout << "pi: " << pi() << std::endl;
    std::cout << "2*pi: " << pi_2() << std::endl;
}

但是这个打印：

圆周率：314159
pi*2:-1e-07

正如你所看到的，结果是一个非常小的负数，所以我认为在计算中的任何地方都存在有符号整数溢出。

问题出在哪里？这是一个整数溢出吗？如果是真的，在哪里以及如何修复

下面是一个完整的运行示例。