排列中的升序子序列

Ascending subsequences in permutation

本文关键字：升序 排列      更新时间：2023-10-16

给定排列1…N，例如5 3 4 1 2如何在线性时间内找到所有长度为3的升序子序列?

是否有可能找到其他长度为X的升序子序列?X

我不知道如何在线性时间内解出它

您需要实际的升序序列吗?或者仅仅是升序子序列的个数?

在少于列出它们所需的时间内生成它们是不可能的。如前所述，它是O(NX / (X-1)!)。(可能存在X的意外因素，因为列出大小为X的数据结构需要O(X)时间。)显然，对它们的递归搜索与此相差不远。

然而，如果你使用动态规划，计数它们可以及时完成O(X * N2)。这里是Python。

counts = []
answer = 0
for i in range(len(perm)):
    inner_counts = [0 for k in range(X)]
    inner_counts[0] = 1
    for j in range(i):
        if perm[j] < perm[i]:
            for k in range(1, X):
                inner_counts[k] += counts[j][k-1]
    counts.add(inner_counts)
    answer += inner_counts[-1]
对于您的示例3 5 1 2 4 6和X = 3，您将结束: 
counts = [
    [1, 0, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 3, 1],
    [1, 5, 5]
]
answer = 6

(上面你只找到了5个，少了一个是2 4 6)

扩展这个答案来创建一个数据结构并不难，这个数据结构可以很容易地直接列出它们，找到一个随机的，等等

你不可能在线性时间内找到所有升序子序列，因为可能有更多的子序列。

例如，在一个已排序的原始序列中，所有子集都是递增子序列，因此一个长度为N(1,2，…，N)的已排序序列有N选k = n!/(n-k)!k!个长度为k的递增子序列

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