跳到最后一个元素的最大数目方式

Max number ways to jump to the last element

本文关键字：最大数 方式 元素 最后一个      更新时间：2023-10-16

我有一个比赛中的问题，想知道答案。

问题是关于找到跳到最后一个元素的最大数量的唯一方法。我正在考虑使用动态编程的解决方案，但无法解决。

您可以在任何位置最多跳3步。步数将以n表示，我们的程序应该计算到达n+1位置的最大跳跃次数。

例如：n=4，跳到n+1位置的最大次数应为7

Jump1: 1 2 1    
Jump2: 1 1 2    
Jump3: 2 1 1    
Jump4: 1 3    
Jump5: 3 1    
Jump6: 2 2    
Jump7: 1 1 1 1

感谢

谚语说，最长的旅程始于一步。

在这种情况下，到达终点的旅程有三个可能的第一步：一跳1、2或3个点。在每种情况下，旅程都将从一个更近的点继续，距离终点1、2或3步。因此，如果我们知道距离较近的点的可能路径的数量，我们可以简单地将它们相加：

paths(n) = paths(n-1)   // First hop was one,   n-1 elements left
         + paths(n-2)   // First hop was two,   n-2 elements left
         + paths(n-3)   // First hop was three, n-3 elements left.

与斐波那契递归的相似性并非巧合。这个序列通常被称为"Tribonacci序列"，你可以很容易地在常见的地方（mathworld、wikipedia、oeis等）查找它，以找到各种计算技术，包括下面的技术。

很明显，您可以通过从末尾开始并向后工作来计算O(n)中的Tribonacci函数（定义f（0）=1，f（-1）=0，f（-2）=0以提供起始位置。）但使用与O(log n)运算中计算斐波那契数相同的技术，很容易做得更好。

这是斐波那契算法。我们从观察矩阵乘积开始：

          | 1  1 |
[ a b ] x |      |  = [ a+b a ]
          | 1  0 |

让我们将F(n)用于第n个斐波那契数，并调用MF之上的1和0的矩阵。我们可以看到

[ F(n) F(n-1) ] = [ 1 0 ] × MF × MF × … × MF
                              n products

但由于矩阵乘法是关联的，我们可以将其重写为：

[ F(n) F(n-1) ] = [ 1 0 ] × MFn

同样，由于矩阵乘法是关联的，我们可以用O(log N)步来计算MFn。例如，我们可以使用递归：

    = Mn/2 × Mn/2 if n is even
Mn
    = M × M(n-1)/2 × M(n-1)/2 if n is odd

类似地，对于Tribonacci数T(n)，我们可以定义矩阵MT:

     | 1 1 0 |
MT = | 1 0 1 |
     | 1 0 0 |

并通过与上述相同的逻辑：

[ T(n) T(n-1) T(n-2) ] = [ 1 0 0 ] × MTn

您知道n=0、n=1和n=2的几种方法吗？

对于任何较大的值N，路数=number of ways for N - 1+number of ways for N - 2+number of ways for N - 3

您不应该计算给定n超过1次的方式数。（在dp数组中记住它）

重要的功能将是(number_of_elements)!/product((number_repeated_characters)!)

例如，如果你知道2211是你的一条路，那么4/2*2！=6，因此对于2"2"s和2"1"s有6个路径组合。

由于你最多只能走3步，一旦你知道了这个公式，这真的还不错。实际上，你只是在寻找可以取代输入中1的2和3的组合。我建议从1 3开始，然后通过每个2来填充剩余部分。然后重复2个3秒，以此类推。如果你预先计算并保存所有的阶乘，它应该运行得很快，尽管我相信还有其他优化。

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