确定一个点是否在多面体内部

您问题中的链接已过期，我无法理解您代码中的算法。假设你有一个凸多面体，其逆时针方向的面（从外面看），那么检查你的点是否在所有面的后面就足够了。要做到这一点，可以从点到每个面的向量，并检查标量乘积与面的法线的符号。如果是正的，则该点位于面部后面；如果为零，则该点在面上；如果是负数，则该点位于面部前方。

以下是一些完整的C++11代码，适用于3点面或更多点面（只考虑前3点）。可以很容易地更改bound以排除边界。

#include <vector>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <cmath>
struct Vector {
  double x, y, z;
  Vector operator-(Vector p) const {
    return Vector{x - p.x, y - p.y, z - p.z};
  }
  Vector cross(Vector p) const {
    return Vector{
      y * p.z - p.y * z,
      z * p.x - p.z * x,
      x * p.y - p.x * y
    };
  }
  double dot(Vector p) const {
    return x * p.x + y * p.y + z * p.z;
  }
  double norm() const {
    return std::sqrt(x*x + y*y + z*z);
  }
};
using Point = Vector;
struct Face {
  std::vector<Point> v;
  Vector normal() const {
    assert(v.size() > 2);
    Vector dir1 = v[1] - v[0];
    Vector dir2 = v[2] - v[0];
    Vector n  = dir1.cross(dir2);
    double d = n.norm();
    return Vector{n.x / d, n.y / d, n.z / d};
  }
};
bool isInConvexPoly(Point const& p, std::vector<Face> const& fs) {
  for (Face const& f : fs) {
    Vector p2f = f.v[0] - p;         // f.v[0] is an arbitrary point on f
    double d = p2f.dot(f.normal());
    d /= p2f.norm();                 // for numeric stability
    constexpr double bound = -1e-15; // use 1e15 to exclude boundaries
    if (d < bound)
      return false;
  }
  return true;
}
int main(int argc, char* argv[]) {
  assert(argc == 3+1);
  char* end;
  Point p;
  p.x = std::strtod(argv[1], &end);
  p.y = std::strtod(argv[2], &end);
  p.z = std::strtod(argv[3], &end);
  std::vector<Face> cube{ // faces with 4 points, last point is ignored
    Face{{Point{0,0,0}, Point{1,0,0}, Point{1,0,1}, Point{0,0,1}}}, // front
    Face{{Point{0,1,0}, Point{0,1,1}, Point{1,1,1}, Point{1,1,0}}}, // back
    Face{{Point{0,0,0}, Point{0,0,1}, Point{0,1,1}, Point{0,1,0}}}, // left
    Face{{Point{1,0,0}, Point{1,1,0}, Point{1,1,1}, Point{1,0,1}}}, // right
    Face{{Point{0,0,1}, Point{1,0,1}, Point{1,1,1}, Point{0,1,1}}}, // top
    Face{{Point{0,0,0}, Point{0,1,0}, Point{1,1,0}, Point{1,0,0}}}, // bottom
  };
  std::cout << (isInConvexPoly(p, cube) ? "inside" : "outside") << std::endl;
  return 0;
}

使用您最喜欢的编译器进行编译

clang++ -Wall -std=c++11 code.cpp -o inpoly

并像一样进行测试

$ ./inpoly 0.5 0.5 0.5
inside
$ ./inpoly 1 1 1
inside
$ ./inpoly 2 2 2
outside

如果网格是凹面的，并且不一定是水密的，那么很难实现。

作为第一步，在网格的曲面上找到最靠近该点的点。需要跟踪位置和特定特征：最近的点是在面的中间、网格的边缘还是网格的某个顶点。

如果特征是人脸，你很幸运，可以使用绕组来找到它是内部还是外部。计算面法线（甚至不需要对其进行归一化，非单位长度即可），然后计算dot( normal, pt - tri[0] )，其中pt是点，tri[0]是面的任何顶点。如果这些面有一致的弯曲，点积的符号会告诉你它是内侧还是外侧。

如果特征是边，则计算两个面的法线（通过标准化叉积），将它们相加，用作网格的法线，然后计算相同的点积。

最困难的情况是顶点是最接近的特征。若要计算该顶点处的网格法线，需要计算共享该顶点的面的法线之和，由该顶点处该面的2D角度加权。例如，对于具有3个相邻三角形的立方体的顶点，权重将为Pi/2。对于具有6个相邻三角形的立方体的顶点，权重将为Pi/4。对于现实生活中的网格，每个面的权重都不同，在[0..+Pi]的范围内。这意味着在这种情况下，你需要一些反三角代码来计算角度，可能是acos()。

如果你想知道为什么这样做，请参阅J.Andreas Bærentzen和Henrik Aanæs的"从三角形网格生成有符号距离场"。

我几年前就已经回答了这个问题。但从那时起，我发现了更好的算法。它发明于2018年，链接如下。

这个想法相当简单。给定该特定点，计算从该点观察多面体所有面的有符号立体角之和。如果点在外面，那个和一定是零。如果点在里面，这个和必须是±4πsteradians，+或-取决于多面体面的缠绕顺序。

这种特殊的算法将多面体打包成一棵树，当您需要对同一多面体进行多个内部/外部查询时，这将显著提高性能。该算法仅在人脸非常靠近查询点时计算各个人脸的立体角。对于远离查询点的大型面集，该算法使用这些集的近似值，使用它们在从源网格构建的BVH树的节点中保留的一些数字。

在FP数学精度有限的情况下，如果使用近似的BVH树，则该角度将永远不会精确为0或±4·π。但是，2π阈值在实践中仍然相当有效，至少在我的经验中是这样。如果立体角之和的绝对值小于2·π，则认为该点在外面。

事实证明，问题是我阅读了上面链接中引用的算法。我在读：

N = - dot product of (P0-Vi) and ni;

作为

N = - dot product of S and ni;

在更改了这一点之后，上面的代码现在似乎可以正常工作。（我也在更新问题中的代码，以反映正确的解决方案）。