如何报告异或为零的子数组的索引?

How to report the indices of a sub array whose xor is zero?

本文关键字：数组 索引 何报告 报告      更新时间：2023-10-16

输入数组：5,2,7,100,1090,1,3,6,4,1062(0索引数组(

任务：对于给定的正整数序列，我想找到三元组 (i，j，k( 的数量，使得 1 ≤ i A[i]^...^A[j]−1=A[j]^A[

j]+1^...^A[k]， 其中 ^ 表示按位 XOR。

我已经在C++中使用数组和映射尝试了prefix_xor问题，但我仍然需要提高时间复杂度。

cin >> n;
int A[n];
ll count = 0;
unordered_map<int, vector<int>> map_table;
for (int i = 0; i < n; ++i)
    cin >> A[i];
map_table[A[0]].push_back(0);
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
    A[i] = A[i] ^ A[i-1];
    if (!A[i])
        count += i;
    map_table[A[i]].push_back(i);
}
unordered_map<int, vector<int>>::iterator i2; 
for (i2 = map_table.begin(); i2 != map_table.end(); ++i2)
{
    int size = i2->second.size();
    if (size >= 2)
    {
        for (int i = 0; i < size-1; ++i)
        {
            for (int k = i+1; k < size; ++k)
                count += ((i2->second[k])-(i2->second[i])-1);
        }
    }
}
cout << count << 'n';

在此示例中，答案是 20

[0,2]， [5,8]， [0,9]， [3,9]

异或(5， 2， 7( = 0;异或(1， 3， 6， 4( = 0;异或(100， 1090， ....1062( = 0;异或(5， 2， 7 ....1062( = 0

我将优化您代码的这一部分：

for (int i = 0; i < size-1; ++i)
{
    for (int k = i+1; k < size; ++k)
        count += ((i2->second[k])-(i2->second[i])-1);
}

请注意，您基本上是在尝试找到数组中每对数字之间的差异之和(i2->second(。你在O(n^2)中这样做，但如果我们稍微操纵一下公式，我们可以做得更快。

假设我们的数组(我们现在称之为 a(的长度为 n 。我们现在只关注第 i 个元素(0 索引(，我们将计算它从总和中添加和减去的总次数。对于每j < i，总和将包括a[i] - a[j]。类似地，对于每j > i，总和包括a[j] - a[i]。在前一种情况下，a[i]总共添加 i 次。在后一种情况下，a[i]总共减去 n - i - 1 次。因此，总和中的a[i]系数(添加次数减去减去的次数(为 i - (n - i - 1) == 2 * i - n + 1 。将其乘以每个元素并将所有内容相加，就可以得到答案(在调整-1部分之后(。

现在对于复杂性，此算法将针对一个前缀 XOR 值O(n)，其中n是该值出现的次数。由于每个前缀 XOR 值出现的次数将加起来与原始数组的长度相加，因此在创建映射后，总复杂度是线性的。

下面是一个请求的示例：

假设数组有五个元素，a[0...4] .如果我们写出您尝试计算的总和，它看起来像这样：

  (a[1] - a[0]) + (a[2] - a[0]) + (a[3] - a[0]) + (a[4] - a[0])
+ (a[2] - a[1]) + (a[3] - a[1]) + (a[4] - a[1])
+ (a[3] - a[2]) + (a[4] - a[2])
+ (a[4] - a[3])

我们稍后会处理-1。如果我们像术语一样分组，它看起来像这样：

-4 * a[0] + -2 * a[1] + 0 * a[2] + 2 * a[3] + 4 * a[4]

请注意，项的系数通过上述公式与该项的索引相关。因此，我们不是遍历每一对元素，而是计算这个缩短的表达式。在原始问题中，您需要为每对元素减去一个，因此我们可以从结果中减去元素对的数量。

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