列举和索引N顶点的所有可能的树

快速浏览有关Cayley公式的Wikipedia文章（ n ^{n ＆minus; 2} 公式您提到）将我指向prüfer序列，这是一个长度 n ＆minus; 2的序列，该序列由（可能重复的）节点标签组成。很明显，有 n ^{n ＆minus; 2} 这样的序列，每个序列可以表示为 n ＆minus; 2位数 n 编号。不太明显的是，每个prüfer序列都对应于带有标记节点的唯一树，但是这个事实足以演示Cayley的公式。

关于Prüfer序列的Wikipedia文章解释了如何将序列变成相应的树。等同于将整数变成树。

我没有尝试过任何任何尝试，但看起来令人信服。

我对C或C 的表现不佳，但是我认为我可以提供这样的理论，以至于列举每棵树不应该太难了。如果我需要澄清任何内容，请发表评论。

思考二进制。

采用邻接矩阵。为了描述一个顶点是否连接到另一个顶点，我们使用1或0。因此，要使用邻接矩阵找到所有图表，我们将填充一个以1和1的连击填充矩阵。唯一的约束是树，a节点不能是自己的父母，也不能有多个父母。具有三个顶点的示例：

0 1 1  0 1 1  0 0 1
1 0 0  0 0 0  1 0 0
0 0 0  1 0 0  0 1 0 etc.

我们可以做的是将行并排放置，以使二进制序列描述每个矩阵。示例：

0 1 1 1 0 0 0 0 0  0 1 1 0 0 0 1 0 0  0 0 1 1 0 0 0 1 0 etc.

因此，给定九个位，我们可以用三个顶点描述所有图。这可以翻译成每个数字1-2^9的一棵树，减去彼此旋转的数字。

要将一个数字变成树，您只需将数字转换为二进制，然后将二进制变成矩阵。要修复自我连接，对于对角线上或超过对角线的每个" 1"，将其进一步移动。然后：

1 0 0         1 0 1 
0 1 0    ->   0 0 0
0 0 1         0 1 0