被困在n*n棋盘上q个主教的算法上

Getting Stuck On the Algorithm for q bishops on an n*n chessboard

本文关键字：算法      更新时间：2023-10-16

我使用的是C++，但我的问题更多的是算法而不是实现。

问题如下：

编写一个程序，输入两个整数n和k，其中n>=k。你的程序应该计算出在nXn棋盘上放置k个主教的不同方式的数量。

我的基本想法是将每个bishop表示为具有X值和Y值的结构。然后我把主教们安排在董事会上，以获得配置。

我写了一个名为moveToNextPlace的方法，它允许我将一个主教移动到下一个可用的位置。我返回一个字符串来帮助调试。

struct bishop {
int y=0;
int x=0;
string moveToNextPlace (int n){
if (y<n-1) {y++; return "move to next y value";}
else if (x<n-1) {x++; return "move to next x value";}
else {reset(); return "reset";};
}
void setValuesLike (bishop b){
y=b.y;
x=b.x;
}
void reset (){
y=0;
x=0;
}
bool clashesWith (bishop b){
if (b.x==x && b.y==y){
return true;
}
if ( b.y-y == b.x-x ) return true; //if their slope is 1
return false;
}
};

然后，我用我想要的设置调用findSolutions，将板设置为初始配置。

int findSolutions (int k, int n){ //k bishops on n*n board
bishop *b = new bishop [k];
for (int i=0; i<k; i++){
findAspot (b, n, i);
}
}
bool check (int num, bishop b[]){
for (int i=0 ; i<num; i++){
if (b[i].clashesWith (b[num])) return false;
}
return true;
}
void findAspot (bishop b[], int n, int num){ //n=boardsize
while (1){
if (check(num, b)){return;}
if (b[num].moveToNextPlace(n) == "reset") break;
}
b[num-1].moveToNextPlace(n);
findAspot (b, n, num-1);
b[num].setValuesLike ( b[num-1] );
findAspot (b, n, num);
}

然后我想不断地回溯，直到我有了总数的解决方案，但我一直纠结于如何找到下一个解决方案。

我想我可以写一个findNextSolution，它在findSolutions函数结束时不断被调用，直到它达到一个循环。但我不知道该用什么算法来找到下一个解决方案。

将bishop位置存储在数组中的想法有了一个良好的开端。这是一个董事会状态的紧凑表示。

你必须纠正你检查一个主教是否与另一个主教冲突的方法。请记住，两个冲突的主教可以由垂直距离dy和水平距离dx分开，使得CCD_。因此，您需要比较绝对值：如果abs(dx) == abs(dy)，主教会发生冲突。

现在来谈谈计算k主教在没有冲突的情况下安排的董事会州的数量的一般问题。您需要定义一个返回整数值的函数。假设这个函数看起来像

count(currentBishops, numRemaining)

其中currentBishops是一个可行的主教职位，numRemaining是你还没有安排的主教人数。

那么问题的解决方案就是

count([], k)

其中[]意味着还没有主教被任命。

count函数可以根据以下伪代码来实现。

count(currentBishops, numRemaining):
if numRemaining == 0:
return 1
sum = 0
for each possible board position (x, y):
if (x, y) does not clash with any bishop in currentBishops:
let nextBishops be currentBishops augmented with (x, y)
sum += count(nextBishops, numRemaining-1)
return sum

为了避免递归调用的指数级爆炸，您需要缓存每个子问题的结果。这种技术被称为记忆，您可以按如下方式实现它。

let memo be a map from (currentBishops, numRemaining) to an integer value
count(currentBishops, numRemaining):
if numRemaining == 0:
return 1
if memo contains (currentBishops, numRemaining):
return memo[(currentBishops, numRemaining)]
sum = 0 
for each possible board position (x, y):
if (x, y) does not clash with any bishop in currentBishops:
let nextBishops be currentBishops augmented with (x, y)
sum += count(nextBishops, numRemaining-1)
memo[(currentBishops, numRemaining)] = sum
return sum

currentBishops的映射应该是一个不关心主教排列顺序的映射。当您计算memo的密钥时，您可以通过对主教位置进行排序或制作板的位图来实现这一点。

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