对排列进行排序的算法

Algorithm that sorts a permutation

本文关键字：算法 排序 排列      更新时间：2023-10-16

我陷入了这个问题：

给定{0,1,2，…，n-1}的置换p
（此处n=P长度）

解释为什么以下算法按递增顺序对排列进行排序，并给出最坏情况（伪代码）

PermutationSort(P)
    for i = 0 to P.length - 1
        while(P[i] != i)
            t = P[i]
            exchange P[i] with P[t]

（C++代码）

void PermutationSort(int P[], int len)
{
    for(int i = 0; i < len; i++)
        while(P[i] != i)
        {
            int tmp;
            tmp = P[i];
            P[i] = P[tmp];
            P[tmp] = tmp;
        }
}

我完全不知道为什么它会对排列p进行排序。

我整天都在研究这个问题，但我仍然不明白为什么它对排列进行排序。

"用p[p[i]]交换p[i]"做什么？为什么我们最终会得到p[i]=i，这将终止内环？

谢谢你的任何提示或帮助。

首先，请注意，如果从任意元素k开始，并重复应用置换p以获得链式（k→p（k）→P（P（k））→P（P（P（k））→…），您将（因为置换P中的元素总数是有限的，并且置换从不将两个输入映射到同一输出）最终返回k。元素的循环（k→P（k）→P（P（k））→rarrk）称为P下k的轨道，并且置换的每个元素恰好属于一个这样的循环。

现在，让我们看看算法的内部循环对包含元素i的循环做了什么。

如果p（i ）=i，即如果该元素已经在其所属的位置，则内部循环什么也不做，外部循环继续移动到下一个元素。如果P（i&shinsp；）≠i，然而，内部循环设置t=P（i 

交换后，p的新值（t ）是p（i&lhinsp；）的旧值，即t。因此，元素t现在被正确排序，而P（i 如果这是i，那么循环中就没有更多的元素了，内部循环结束；否则，包含i的循环收缩了一个元素，并且内部循环重复。

因此，在内部循环结束时，所有曾经是i相同循环的一部分的元素（包括i本身）都被移动到了它们的正确位置，从而从循环中删除，而排列的其余部分没有改变。

由于外循环在排列中的每个元素上迭代，因此还保证访问每个循环至少一次。当然，我们正在修改内部循环中的排列，但这没关系，因为内部循环永远不会创建新的循环（多个元素）；它只能分解现有的。

因此，原始排列中的每个循环第一次被外循环访问时，内循环对该循环进行排序并分解；在随后访问同一个原始循环时，该循环已经被排序，因此内部循环什么也不做。

这种观察还应该允许您绑定内部循环可以执行的次数，从而确定算法的时间复杂性。

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