任意精度分数算术(C/C++）中的浮点数与有理数

问题是您在标题中提到的任意精度是什么意思。它的意思是"任意的，但在编译时预先确定，在运行时固定"吗？或者它的意思是"无限的，即在运行时可扩展以表示任何有理数"？

在前一种情况下（在编译时可以自定义精度，但稍后会修复），我认为最有效的解决方案之一实际上是定点算术（即，您提到的两种都没有）。

首先，定点算术不需要任何用于基本算术运算的专用库。它只是一个覆盖在整数算术之上的概念。这意味着，如果你真的需要在点后有很多数字，你可以取任何一个大整数库，把所有数据乘以2^64，你基本上立即得到点后有64个二进制数字的定点算术（至少就算术运算而言，需要对乘法和除法进行一些额外的调整）。这通常比浮点或有理表示更有效。

还要注意的是，在许多实际应用中，乘法运算通常伴随着相互"补偿"的除法运算（如x = y * a / b），这意味着通常没有必要对这种乘法和除法进行任何调整。这也有助于提高定点运算的效率。

其次，定点运算在整个范围内提供统一的精度。浮点表示或有理表示都不是这样，在某些应用程序中，这可能是后两种方法的一个显著缺点（或好处，取决于您需要什么）。

那么，为什么只考虑浮点和有理表示呢。是否有什么东西阻止您考虑定点表示？

由于似乎没有其他人提到这一点，有理数和浮点数代表不同的数字集。值1/3可以用有理数精确表示，但不能用浮点表示。即使是任意精度的浮点，也需要无限多的尾数位来表示像1/3这样的重复小数。这是因为浮点实际上像有理数，但分母被限制为2的幂。任意精度有理数可以表示任意精度浮点数所能表示的一切，甚至更多，因为分母可以是任何整数，而不是2的幂。（也就是说，除非我严重误解了任意精度浮点的实现方式。）

这是对你提出的理论利弊的回应。

我知道你没有问记忆使用情况，但这里有一个理论比较，以防其他人感兴趣。如上所述，有理数专门用于可以用分数表示法简单表示的数字，如1/3或492113/203233，而浮点数专门用于用2次方的科学表示法简单表达的数字，例如5*2^45或91537*2^203233。以人类可读的形式表示数字所需的ascii类型的数量与它们的内存使用量成比例。

如果我有任何错误，请在评论中纠正我。

无论哪种方式，都需要对任意大小的整数进行乘法运算。这将是您性能的主要因素，因为它的复杂性比O(n*log(n))更差。像对齐操作数和加减大整数这样的操作是O(n)，所以我们将忽略这些操作。

对于简单的加法和减法，浮点^*不需要乘法运算，有理数不需要3次乘法运算。浮子轻而易举地获胜。

对于乘法，浮点数需要一次乘法运算，有理数需要两次乘法运算。浮子有优势。

分工有点复杂，理性可能会在这里获胜，但这绝非必然。我认为这是一场平局。

因此，总的来说，IMHO，加法对于理性至少是O(n*log(n))，对于浮点至少是O(n)，这一事实清楚地为浮点表示带来了胜利。

^*如果你的指数基数和数字基数不同，你可能需要一次乘法来执行加法。否则，如果使用2的幂作为基数，则对齐操作数需要进行位移位。如果你不使用二的幂，那么你可能还必须乘以一个数字，这也是O(n)运算。

你实际上在问一个问题："我需要和我选择的动物一起参加比赛。我应该选择乌龟还是蜗牛？"。

第一个建议"模拟双精度"听起来像是交错精度：使用一个双精度数组，其和是定义的数字。Douglas M.Priest的一篇论文《任意精度浮点运算的算法》描述了该算法的实现方法。我实现了这一点，我的经验非常糟糕：进行此运行所需的开销会使性能下降100-1000倍！使用分数的另一种方法也有严重的缺点：你需要实现gcd和kgv，不幸的是，分子或分母中的每个素数都有很好的机会破坏你的数字，扼杀你的性能。

因此，根据我的经验，它们是性能方面最差的选择。

我建议使用MPFR库，它是C和C++中速度最快的AP包之一。

有理数不会给出任意精度，而是给出精确的答案。然而，就存储而言，它们更昂贵，使用它们的某些操作变得昂贵，并且一些操作根本不允许，例如取平方根，因为它们不一定会产生合理的答案。

就我个人而言，我认为在你的情况下，AP浮动会更合适。