模量的重复循环

Repeating Cycle of Modulus

本文关键字：循环      更新时间：2023-10-16

有没有一种有效的方法来找到1111..nmod M的值
人们总是可以使用重复平方来找到
10modM+101modm+102modM+103ModM+。。。10n模式M
有比这更快的方法吗？

您可以使用一种几乎类似于平方求幂的算法来解决此问题。

首先，如果你有一个偶数的1，你可以看到：

11111111 = 1111     * 10001
n ones     n/2 ones   (10^(n/2) + 1)

这使1的数量增加了一倍。此外，

1111111 = 111111   * 10 + 1
n ones    n-1 ones

将这些观测结果形式化，并为方便起见，将n个1 111…1的数字命名为J（n）:

  • 如果n是偶数，则J（n）=（10^（n/2）+1）J（n/2
  • 如果n是奇数，则J（n）=10*J（n-1）+1

您可以使用这些递归（加上通过平方计算10^（n/2）的幂的实际实现）模M来计算O（log（n）^2）时间内的结果。

下面是一些实现这一点的C代码。如果你想要一个大的M（你需要M^2来适应你的类型），你必须使用比int更长的类型，以避免溢出。

#include <stdio.h>
// Computes a to the power of n modulo m.
int pow_mod_m(int a, int n, int m) {
    if (n == 0) { return 1; }
    if (n == 1) { return a; }
    if (n % 2 == 0) {
        int k = pow_mod_m(a, n/2, m);
        return (k * k) % m;
    }
    return (pow_mod_m(a, n-1, m) * a) % m;
}
// Computes J(n) modulo m
int j_mod_m(int n, int m) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return (j_mod_m(n/2, m) * (1 + pow_mod_m(10, n/2, m))) % m;
    }
    return (j_mod_m(n-1, m) * 10 + 1) % m;
}
int main(int argc, char**argv) {
    for (int i = 1; i < 1000; i++) {
        printf("%d: %dn", i, j_mod_m(i, 12345));
    }
    return 0;
}

如果10是幂零的（如果M=2^a*5^b），或者在某个点开始循环，则10的幂最终将达到0。（实际上0,0,0…也是一个循环。）循环的长度可以大到M-1。因此，计算幂，直到观察到重复值，并使用简单代数根据观察到的不同幂来收集项。

我相信这将复杂性从O（n）降低到O（M），这显然是对大型n的改进。

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