使用多个求和查找有序集的组合数

Find number of combinations of ordered set using multiple summations

本文关键字：组合 查找 求和      更新时间：2023-10-16

这是关于查找有序集合的多个组合的问题，其中元素具有约束。

举个例子：

a+b+c+d+e=635，可能是...

[0-90] + [1-120] + [50-150] + [20-200] + [30-250] = 635

一个解决方案使用多个求和，就像在数学堆栈交换中回答的那样。

https://math.stackexchange.com/questions/159197/combinatorics-using-constraints-and-ordered-set

有人可以大致了解解决此类问题的过程或伪代码吗？

谢谢！

一堆嵌套的 for 循环是最简单的方法。

伪代码：

let combinations = 0;
for a = 0 to 90
    for b = max(a+1, 1) to 120
        for c = max(b+1, 50) to 150
            for d = max(c+1, 20) to 200
                let e = 635 - a - b - c - d;
                if max(d+1, 50) <= e <= 250
                    let combinations = combinations + 1

更新

以上可以稍微优化一下，但你最终会得到一个特定的，而不是通用的解决方案。

您可以观察到(a+1) >= 1总是正确的，因此我们可以摆脱分配给b的max调用。 同样，(c+1) >= 20始终为真，因此可以简化对d的分配。

您还可以看到 a + b + c + d 的最大可能值为 540，这给出了 e 的最小可能值 95。 这大于规定的e下限，所以我们只需要检查该e >= (d+1)。

我们最终得到：

let combinations = 0;
for a = 0 to 90
    for b = a+1 to 120
        for c = max(b+1, 50) to 150
            for d = c+1 to 200
                let e = 635 - a - b - c - d;
                if d+1 <= e <= 250
                    let combinations = combinations + 1

看看数学交换页面上发布的解决方案。 每个 sigma 符号都是一个嵌套的for循环。 最里面的项，x，是作为if给出的。 因此，您的算法应该是围绕 if 的四个嵌套循环。

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