计算幂后取模的算法

Algorithm of calculate modulo after power

本文关键字：算法计算更新时间：2023-10-16

下面一段代码来计算a^b%c的值，

int powermod(int a,int b,int c)
{
    int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%c;
        a=(a*a)%c;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}

我试图理解代码背后的算法，但无法做到。有人可以帮助我解释一下吗？这是如何工作的，它背后的算法有名字吗？

如果没有"modulo c"部分，更容易看到发生了什么：

int power(int a,int b)
{
    int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans *= a;
        a=a*a;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}

这是一种标准算法，通过一次考虑一个位来计算^b，从最低有效位开始b。对于b的每一位，如果1，则将答案乘以当前值a。然后，要移动到下一个位，a平方并将b向右移动 1 位。该算法的理论是 x 2 m + 2 n = x 2^{^m}x²^ⁿ。

这种类型的算法被称为"平方求幂"、"平方乘法"或"二进制幂"。

发布的算法（如注释中所述的校正后）使用(x*y)%z == ((x%z) * (y%z)) % z的事实（即模运算可以在乘法之前或乘法之前应用）做同样的事情模c）。它使用它来保持a小于c，尽管反复平方。

它使用二元思维。

a

^b = a^{b1 a b2} ... a^bn当^b1+...+bn=b 时

用二进制写 b，你会得到一个^b0 a 2*b1 a^4*b2...^{a 2ⁿbn}，bi 表示二进制 b 中的第 i 位。它只能是 0 或 1。

现在我们发现我们不需要每次都计算 2 n，因为我们可以从²^{^n-1} 得到它

由于（a b）%

c=（a%c）（b%c）%c，此算法在乘法时执行 mod 运算。