另一种二叉搜索树的节点公式

Node formula of a different kind of binary search tree

本文关键字：节点搜索树另一种更新时间：2023-10-16

我正在尝试查找树中定义如下的最大节点数：

根最多可以有 2 个孩子。左侧的每个子树最多可以有 L 个子树。右侧的每个子树最多可以有 R 个子树。

我知道在二叉树中查找节点数的公式是 2^h-1，其中 h 是树中的级别数量。

通俗地说，如何看待这个问题？(我不是很数学。

所以更正式地说，你试图在二叉搜索树中查找节点数，使得树的根有两个子树，左边的每个子树最多有 l 个子树，右边的每个子树都有 r 个子子树。

我们可以分别考虑左树和右树，因为它们不会影响彼此的高度。不考虑根，我们调用根的左子树 L，让我们调用根的右子树 R。 L 保持不变性，即 L 中的每个节点不能有超过 l 个子节点。同样，R 中的每个节点不能超过 r 个子节点。

让我们构造两个函数 b 和 c，它们取高度 h 并分别输出 L 或 R 中的最大节点数。

b(h) = if h = 1 then 1 else l * b(h - 1)
c(h) = if h = 1 then 1 else r * b(h - 1)

现在，我们可以构造函数 a，它取高度 h 并输出您定义的树的最大节点数。

a(h) = if h = 1 then 1 else (b(h - 1) + c(h - 1))

现在，我们想为 a 找到一个封闭的形式。让我们从找到 b 和 c 的封闭形式开始。

给定正高度 h，因为 l 被重复相乘，除了第一种情况，

b(h) = l^(h - 1)
c(h) = r^(h - 1)
a(h) = if h = 1 then 1 else (l^(h - 1) + r^(h - 1))

我不确定您是否还想在 a 的封闭形式中考虑 h = 1，但给定 h> 1，查找您定义的二叉搜索树的最大节点数的公式为

l^(h - 1) + r^(h - 1)