给定一个数N，有多少对数的平方和小于或等于N

Given a number N how many pairs of numbers have square sum less than or equal to N?

本文关键字：小于 一个 多少      更新时间：2023-10-16

让我们将F（N）定义为不同正整数对的数量（A，B）2+B2≤N和A<B。

如果N=5，则唯一可能的此类对是（1,2）对于N=10而言，该对是两个：和。

此外，对于每一个由两个不同的非零平方和组成的数，我们都有F（13）=3，F.（17）=4、F[（20）=5（20）=5[（25）=6和F-（100）=31等等。

到目前为止，我有以下解决方案：

long long SOLVE(lld n)
{
    long long x=sqrt(n),up=0;
    long long a=x,b=1;
    while(abs(a-(b-1))!=1)
    {
        while(sqr(a)+sqr(b)<=n )
        {
            b++;
        }
        up+=(b-1);
        a--;
    }
    b--;
    up+=(b*(b+1))/2;
    return up;
}
int main()
{
      cout<<number(100);
return 0;
}

相同的数字是不可计数的，因此（1,1）和。相同的组合但不同的订单只计数一次。因此，（1,2）和。

但由于N的范围是1，我需要一个更有效的算法或公式来计算这一点。有什么技巧可以让我的代码更有效率吗？

在伪代码中：

int count=0;
for (smaller=1; ;++smaller)
{
    maxlarger = floor(sqrt(N-smaller*smaller));
    if (maxlarger <= smaller)
        break;
    count+=(maxlarger-smaller);
}
return count;

您不必计算B的数量：您可以简单地计算出最大的B，这是可能的，它立即是A:的元组数量

Bmax=sqrt（N-A2），B的下界为：Bmin=A+1。

现在您可以执行以下操作：

  • 对A从1迭代到sqrt（n）
  • 对于每个这样的A，计算您可以使用的B的数量
  • 计算这些的总和

这就引出了以下算法：

lld SOLVE(lld n) {
    lld aM=sqrt(n);
    lld a=1;
    lld res = 0;
    for(lld a = 1; a < aM; a++) {
        int nB = sqrt(n-a*a)-a;
        if(nB > 0) {
            res += nB;
        } else {
            break;
        }
    }
    return res;
}

从现在起，再也找不到B值了，就可以中断搜索。

我在这里写了一个演示，看起来很有效。

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