路径上的最大节点数是多少？

What's the maximum number of nodes on a path?

本文关键字：多少 节点 路径      更新时间：2023-10-16

我遇到以下问题：

有很多节点，其中一些节点已经连接，但不是全部。我们必须添加连接，以便每个节点都与任何其他节点连接（不需要直接连接）。我们不想更改任何现有的连接。节点必须使用最少的线路连接（当前连接已遵循此规则）。此外，从一个节点到另一个节点的路径必须通过最少数量的其他节点。我们想知道当所有东西都以最佳方式连接时，任何路径上的最大节点数。

输入：
以下数据由用户输入提供：
•您得到两个整数：数字1≤p≤1.000.000的节点和现有连接的数量0≤l≤p−1
•然后l行，每两个整数a和b在0和p−1之间（包括0和1），表示连接的端点。

输出：
输出应该是一个整数，表示任何路径上的最大节点数。（所以没有起点和终点）

例如，当输入p=6，l=4，连接2-0、1-0、5-3和4-3时，输出应该是2。

我已经用c++编写了一个程序，它可以执行以下操作：

int main(){
    int p, l;
    cin >> p >> l;
    for (int i = 0; i < l; i++){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        // store the connection a,b somehow
    }
    // solve the problem
    cout << answer << endl;
}

我想把连接存储在一个p-1乘以p-1的数组中，如果行存在，则使用1，否则使用0。此外，我需要一些东西来决定如何以最佳方式进行连接，并计算每条路径上的最大节点数量。我只被允许使用C++的标准库。

有人能帮我做这个吗？提前感谢！

这听起来像是一个基本的算法作业。。。

给定现有图，找到最大路径。除非您只有两个节点，否则这将是您的答案。

将所有新节点连接到任何不是最大路径的叶节点的节点。

（连接节点的线称为"边"。）

如果我误解了你的问题，请告诉我。

编辑这是一个简单的图表。最大路径是（a，b，c）[这与（c，b，a）相同--我们总是对两个叶子排序，使最小的先到]。

(a)--(b)--(c)

我可以通过拾取任何叶节点（一个正好有1条边的节点）并找到另一个叶节点来找到它。最远的叶节点将是距离该节点的最长/最大路径。

从你刚刚找到的叶节点再做一次，你就会得到整个图的最长/最大路径。

让我们来看看这是如何与一个新的图形一起工作的：

(a)--(b)--(c)--(d)--(e)--(f)
           |
          (s)

我将从节点开始。如果我找到它的最长路径，我将找到节点（f）。节点（f）必须是图中最长路径上的端点之一。（我让你想想原因。）

现在，我再次从节点（f）开始。从（f）到（a）的最长路径。我现在有了图中最长的路径：（a，b，c，d，e，f）。

这是另一张图：

(a)--(b)--(c)
      |
     (d)

有许多最长的路径可供选择。（a、b、c）、（a、b、d）和（c、b、d）。重要的是，它们都存在并且具有相同的长度。

现在，我应该将新的节点（e）连接到哪个节点，这样我就不会更改最长的路径？简单：

     (e)
      |
(a)--(b)--(c)
      |
     (d)

您可以通过仅将新节点附加到而非叶节点的节点来保证这一点。

至于你关于如何表示图的问题，你的想法会很好，但请记住，你有p个节点，而不是p-1。例如，我可以将我的3节点图表示为：

       from
      a  b  c 
   a  0  1  0
to b  1  0  1
   c  0  1  0

请注意这些列：a只通向另一个节点。同样，c只通向另一个节点。然而，b的列显示，b导致两个其他节点（不止一个）。

因此，a和c是叶子；b不是。

如果我添加一个新节点，我只想将其连接到已经有多个节点的节点：

   a  b  c  d            a  b  c  d
a  0  1  0  0         a  0  1  0  0
b  1  0  1  0   -->   b  1  0  1  1
c  0  1  0  0         c  0  1  0  0
d  0  0  0  0         d  0  1  0  0

希望这能有所帮助。

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